Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与过点M（2

2

，0），N（0，

2

）的直线有且只有一个公共点，且椭圆C的离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程：
（Ⅱ）过点P（0，4）的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于点Q（点Q与椭圆顶点不重合），若

PQ

=λ₁

QA

=λ₂

QB

，且λ₁+λ₂=8，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意，直线MN的方程为y=-

1

2

x+

2

，椭圆C：x²+4y²=4b²，直线方程代入，得2x²-4

2

x+（8-4b²）=0，由椭圆直线有且只有一个公共点，得b=1，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设Q（x₀，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知条件推导出-

4

y1

-

4

y2

=8，∴

y1+y2

y1y2

=-2，设直线l的方程是x=t（y-4），联立

x=t(y-4) x2 4 +y2=1

，得（t²+4）y²-8t²y+16t²-4=0，由此求出直线l的方程为x=±

5

5

(y-4)，从而得到Q点坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，直线MN的方程为y=-

1

2

x+

2

，
∵e=

3

2

，∴a²=4b²，
∴椭圆C：x²+4y²=4b²，
直线方程代入可得2x²-4

2

x+（8-4b²）=0，
∵椭圆直线有且只有一个公共点，
∴△=(-4

2

)2-8(8-4b2)=0，解得b=1，∴a=2，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）设Q（x₀，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵P（0，4）∴

PQ

=(x0，-4)，

QA

=(x1-x0，y1)，

QB

=(x2-x0，y2)，
∵

PQ

=λ₁

QA

=λ₂

QB

，且λ₁+λ₂=8，∴（x₀，-4）=λ₁（x₁-x₀，y₁）=λ₂（x₂-x₀，y₂），
∴-4=λ₁y₁，-4=λ₂y₂，
∴λ1=-

4

y1

，λ2=-

4

y2

，
∴-

4

y1

-

4

y2

=8，∴

y1+y2

y1y2

=-2，（i）
∵直线l过点P（0，4），设直线l的方程是x=t（y-4），
联立

x=t(y-4) x2 4 +y2=1

，得（t²+4）y²-8t²y+16t²-4=0，
则y1+y2=

8t2

16t2-4

=-2，y₁y₂=

16t2-4

t2+4

，（ii）
把（ii）代入（i）得

8t2

16t2-4

=-2，解得t2=

1

5

，t=±

5

5

，满足△＞0，
∴直线l的方程为x=±

5

5

(y-4)，令y=0，得x=±

4 5

5

，
∴Q点坐标为（±

4 5

5

，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．