Question

若当x∈（1，4]时，不等式mx²-2x+2＞0恒成立，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件，进行参数分离法，结合二次函数的最值是解决本题的关键．

解答： 解：当x∈（1，4]时，不等式mx²-2x+2＞0恒成立，
即mx²＞2x-2，
即m＞

2x-2

x2

=

2

x

-

2

x2

设t=

1

x

，∵x∈（1，4]，∴t∈[

1

4

，1）．
则y=

2

x

-2•

1

x2

=2t-2t²=-2（t-

1

2

）²+

1

2

，
∵t∈[

1

4

，1）．
∴当t=

1

2

时，函数y=2t-2t²=-2（t-

1

2

）²+

1

2

取得最大值

1

2

，
∴m＞

1

2

，
故答案为：m＞

1

2

．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法，结合二次函数的性质是解决本题的关键．恒成立的问题一般与最值有关．