题目内容

求下列函数的值域：
（1）y=
x
1+x
；
（2）y=
5x+3
x-3
，x∈[1，5]；
（3）y=3-
2-2x+x2
．
考点：函数的值域
专题：函数的性质及应用
分析：（1）分离常数法：y=
x
1+x
=1-
1
1+x
，则值域可求．
（2）利用函数的单调性，先判断y=
5x+3
x-3
，x∈[1，5]为单调增函数，则值域可求．
（3）配方法：首先把原函数配方变为y=3-
(x-1)2+1
，则值域可求．
解答： 解：（1）分离常数法：y=
x
1+x
=1-
1
1+x
由于x+1≠0，则y≠1，故其值域为（-∞，1）∪（1，+∞）；
（2）y=
5x+3
x-3
=5-
18
x
，因为y=5-
18
x
，在x∈[1，5]单调递增；f（1）=-13，f（5）=
7
5
，故y=
5x+3
x-3
，x∈[1，5]的值域为[-13，
7
5
]，
（3）y=3-
2-2x+x2
=3-
(x-1)2+1
，因为
(x-1)2+1
的最小值为1，故值域为（-∞，2]
点评：本题考查了函数值域的求法，考查了配方法，换元法，分离常数法等，考生要重点掌握．
练习册系列答案
相关题目
已知集合S={x|x=m2+n2，m，n∈Z}，求证：若a，b∈S，则ab∈S．
已知椭圆的焦点F1（0，-1）和F2（0，1），离心率e=
1
2

（1）求椭圆的方程；
（2）设点P在椭圆上，且|PF1|-|PF2|=1，求△PF1F2的面积．
已知抛物线C：y2=4x，直线l与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）两点（A，B异于点O），设直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0），O为坐标原点．
（Ⅰ）若k1•k2=-1，求y1y2的值；
（Ⅱ）若k1+k2=8k，记△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2．是否存在正实数λ，使得S1+S2≥λS恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=-x3+x2（x∈R），g（x）满足g′（x）=
a
x
（a∈R，x＞0），且g（e）=a，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）已知h（x）=e1-xf（x），求h（x）在（1，h（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≥-x2+（a+2）x成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数F（x）=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
，O为坐标原点，若对于y=F（x）在x≤-1时的图象上的任一点P，在曲线y=F（x）（x∈R）上总存在一点Q，使得
OP
•
OQ
＜0，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．
已知点P0（x0，y0）在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）内，求过P0的弦中点的轨迹方程．
已知函数f（x）=
1
2
ax2-（2a+1）x+2lnx，其中常数a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）如果函数f（x），H（x），g（x）在公共定义域D上，满足f（x）＜H（x）＜g（x），那么就称H（x） 为f（x）与g（x）的“和谐函数”．设g（x）=x2-4x，求证：当2＜a＜
5
2
时，在区间（0，2]上，函数f（x）与g（x）的“和谐函数”有无穷多个．
如图：在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，p∈β，PA⊥α且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点，
（1）求二面角α-l-β的大小．
（2）求异面直线MN与l所成的角的大小．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与过点M（2
2
，0），N（0，
2
）的直线有且只有一个公共点，且椭圆C的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程：
（Ⅱ）过点P（0，4）的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于点Q（点Q与椭圆顶点不重合），若
PQ
=λ1
QA
=λ2
QB
，且λ1+λ2=8，求点Q的坐标．

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