Question

f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（xy）．
（1）求证：f(x)-f(y)=f(

x

y

)；
（2）若f（4）=-4，解不等式f(x)-f(

1

x-12

)≥-12．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）+f（y）=f（xy），将x代换为

x

y

，代入恒等式中，即可证明f(x)-f(y)=f(

x

y

)；
（2）利用恒等式，将不等式f(x)-f(

1

x-12

)≥-12等价转化为f[x（x-12）]≥f（64），再利用f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，即可列出关于x的不等式，求解不等式，即可得到不等式f(x)-f(

1

x-12

)≥-12的解集．

解答： 解：（1）证明：∵f（x）+f（y）=f（xy），
将x代换为

x

y

，则有f(

x

y

)+f(y)=f(

x

y

•y)=f(x)，
∴f(x)-f(y)=f(

x

y

)；
（2）∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴-12=-4+（-4）+（-4）=f（4）+f（4）+f（4）=f（64），
∵f(x)-f(y)=f(

x

y

)，
∴f（x）-f（

1

x-12

）=f[x（x-12）]，
∴不等式f(x)-f(

1

x-12

)≥-12等价于f[x（x-12）]≥f（64），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴

x＞0 1 x-12 ＞0 x(x-12)≤64

，即

x＞0 x＞12 -4≤x≤16

，
∴12＜x≤16，
∴不等式f(x)-f(

1

x-12

)≥-12的解集为{x|12＜x≤16}．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，考查了利用赋值法求解抽象函数问题，解决本题的关键是综合运用函数性质把抽象不等式化为具体不等式，也就是将不等式进行合理的转化，利用单调性去掉“f”．属于中档题．