Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=an2+2a_n（n∈N^*）
（I）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）记b_n=

1

an

+

1

an+2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由an+1=

a

2 n

+2an，变形为an+1+1=(an+1)2，两边取对数可得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），即可证明数列{lg（a_n+1）}是等比数列．
（II）由an+1=

a

2 n

+2an，两边同取倒数可得

2

an+1

=

1

an

-

1

an+2

，可得bn=2(

1

an

-

1

an+1

)，再利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵an+1=

a

2 n

+2an，
∴an+1+1=(an+1)2，
两边取对数可得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1）；
又a₁=2，∴数列{lg（a_n+1）}是以lg3为首项，2为公比的等比数列．
∴lg(an+1)=2n-1lg3，即an+1=32n-1；
∴数列{a_n}的通项公式为an=32n-1-1；
（Ⅱ）由an+1=

a

2 n

+2an，两边同取倒数可得

2

an+1

=

1

an

-

1

an+2

，即

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
∴bn=2(

1

an

-

1

an+1

)，
∴S_n=2[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]=2(

1

a1

-

1

an+1

)=1-

2

32n-1

．

点评：本题考查了通过两边取对数得到等比数列的方法、通过取倒数利用“裂项求和”求数列的和等基础知识与基本技能方法，属于难题．