Question

（不等式选做题）对于任意θ∈R，|sinθ-3|≥a+

2

a

恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式|sinθ-3|≥a+

2

a

对于任意θ∈R恒成立转化为|sinθ-3|_min≥a+

2

a

，利用sinθ∈[-1，1]，即可求得|sinθ-3|_min=2，则a+

2

a

≤2，求解不等式即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：∵不等式|sinθ-3|≥a+

2

a

对于任意θ∈R恒成立，
∴|sinθ-3|_min≥a+

2

a

，
∵sinθ∈[-1，1]，
∴sinθ-3∈[-4，-2]，
∴|sinθ-3|∈[2，4]，
∴|sinθ-3|_min=2，
∴a+

2

a

≤2，即

a2-2a+2

a

≤0，
∵a²-2a+2=（a-1）²+1＞0恒成立，
∴a＜0，
∴实数a的取值范围为（-∞，0）．

点评：本题考查了不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．本题选用了最值法进行求解，涉及了三角函数求最值，要掌握常见函数的值域，会对解题带来很大的便捷．属于中档题．