Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，则点集{P|

OP

=λ

OA

+μ

OB

，λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1}所表示区域的面积为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划,二元一次不等式（组）与平面区域,平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：由两定点A，B满足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式0≤λ+μ≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．

解答： 解：由两定点A，B满足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．或∠AOB=120°的等腰三角形，
不妨O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．
设A（

3

，-1），B（

3

，1）．再设P（x，y）．
由

OP

=λ

OA

+μ

OB

，得：（x，y）=（

3

λ，-λ）+（

3

μ，μ）=（

3

（λ+μ），μ-λ）．
所以

λ+μ= 3 3 x μ-λ=y

，解得

λ= 3 6 x- 1 2 y μ= 3 6 x+ 1 2 y

①．
由λ+μ≤1．
所以①等价于

3 6 x- 1 2 y≥0 3 6 x+ 1 2 y≥0 0＜x≤ 3

可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，
则区域面积为

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．