Question

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴于x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为

x=1+ 3 t y= 3 +t

，圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+16-a²=0（其中a为正实数）．
（Ⅰ）求直线l和圆C的普通方程；
（Ⅱ）若圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为2，求a的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：本题（Ⅰ）先消去直线l的参数方程中的参数，得到直线的普通方程，再利用公式将圆C的极坐标方程化成平面直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，利用直线与圆的特殊位置关系，得到点线距离，从而求出a的值，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为

x=1+ 3 t y= 3 +t

，
∴x-1=

3

(y-

3

)，
∴x-

3

y+2=0．
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
∴圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+16-a²=0可化为：x²+y²-8x+16-a²=0
即（x-4）²+y²=a²，（a＞0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：圆心C（4，0）到直线l：x-

3

y+2=0的距离为：
d=

|4-0+2|

1+3

=3．
∵圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为2，
∴圆C的半径为：a=d+2=3+2=5．
∴a=5．

点评：本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，本题计算量适中，有一定的综合性，属于中档题．