Question

定义在R上的函数f（x）对任意的x都有f（x+4）=f（x），当x∈[0，4]时，f（x）=2^|x-m|+n，且f（2）=1
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）令g（x）=ln（x+a），若对任意x₁∈[1，e]，总存在x₂∈R，使得g（x₁）+2=f（x₂）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数f（x）在区间[t，t+1]（0≤t≤2）上的最小值为h₁（t），最大值为h₂（t），令h（t）=h₁（t）•h₂（t），请写出h（t）关于t的解析式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题有f（4）=f（0），可求m，再由f（2）=1求n，
（Ⅱ）求出ln（1+a）+2≤g（x₁）+2≤ln（e+a）+2，而x₂∈R，f（x₂）=2^|x₂-2|≥1，要使得g（x₁）+2=f（x₂）成立，则ln（1+a）+2≥1，解得a≥

1

e

-1；
（Ⅲ）画函数f（x）的图象，结合图象求最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题有f（4）=f（0），即2^|4-m|+n=2^|0-m|+n，得2^|4-m|=2^|0-m|，m=2，
又f（2）=1，即2^|2-2|+n=1，
解得n=0．
（Ⅱ）∵x₁∈[1，e]，∴ln（1+a）+2≤g（x₁）+2≤ln（e+a）+2，
而x₂∈R，f（x₂）=2^|x₂-2|≥1，
要使得g（x₁）+2=f（x₂）成立，则ln（1+a）+2≥1，解得a≥

1

e

-1；
（Ⅲ）函数f（x）的图象：

当0≤t≤1时，1≤t+1≤2，f（x）在区间[t，t+1]上递减，故h₁（t）=f（t+1）=2^|t-1|=2^1-t，h₂（t）=f（t）=2^|t-2|=2^2-t，
∴h（t）=2^1-t×2^2-t=2^3-2t；
当1＜t≤2时，2＜t+1≤3，f（x）在区间[t，t+1]上先减后增，故h₁（t）=f（2）=2^|2-2|=1，
而对于f（t+1）=2^|t-1|=2^t-1与f（t）=2^|t-2|=2^2-t，在1＜t≤

3

2

时，h₂（t）=f（t）=2^|t-2|=2^2-t，在

3

2

＜t≤2时，h₂（t）=f（t+1）=2^|t-1|=2^t-1，
∴h（t）=

23-2t，0≤t≤1 22-t，1＜t≤ 3 2 2t-1， 3 2 ＜t≤2

；

点评：本题主要考查函数的综合应用，同时考查数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．