Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（I）求a_n及S_n；
（II）求数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S_n=n²+2n，可得S_n=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S_n=n²+2n，
∴S_n=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．