Question

如图，已知点A（10，0），直线x=t（0＜t＜10）与函数y=e^2x+1的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．
（Ⅰ）求函数f（t）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（ I）由题意设点P坐标，来表示AH，PH的大小，计算出△APH的面积f（t）=

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•AH•PH；
（ II）求f（t）的导函数f，（t），令f'（t）=0，求得f'（t）＞0、＜0的t的取值范围，从而求得f（t）的最大值．

解答： 解：（ I）由题意点P（x，y），则x=t，y=e^2t+1，其中0＜t＜10，
∴AH=10-t，PH=e^2t+1，
所以△APH的面积为f（t）=

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•AH•PH=

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（10-t）e^2t+1，其中0＜t＜10．
（ II）∵f（t）=

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（10-t）e^2t+1，其中0＜t＜10．
∴f′（t）=-

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e^2t+1+

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×（10-t）×2e^2t+1=e^2t+1（19-2t），
由f'（t）=0，得t=9.5，
函数f（t）与f′（t）在定义域上的情况下表：

t	（0，9.5）	9.5	（9.5，10）
f′（t）	+	0	-
f（t）	↗	极大值	↘

所以当t=9.5时，函数f（t）取得最大值t=

1

4

e20．

点评：本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题，属于中档题．