Question

已知等差数列{a_n}，S_n为其前n项和，a₅=6，S₆=18，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，能求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=an•3n=(2n-4)•3n，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（Ⅰ）该等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．
由a₅=6，S₆=18，得

a5=a1+4d=6 S6=6a1+ 6×5 2 d=18

，
解得

a1=-2 d=2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-4．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=an•3n=(2n-4)•3n，
记数列{b_n}的前n项和为T_n，
则Tn=b1+b2+…+bn=-2•31+0•32+2•33+…+(2n-4)•3n，①
3Tn=-2•32+0•33+2•34+…+(2n-4)•3n+1，②
①-②得-2Tn=-2•31+2(32+33+34+…+3n)-(2n-4)•3n+1
=-6+2×

32(1-3n-1)

1-3

-(2n-4)•3n+1
=-15-（2n-5）•3ⁿ⁺¹．
∴Tn=

(2n-5)•3n+1+15

2

(n∈N*)．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．