题目内容
公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，{an}的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项，S5=25．
①求数列{an}的通项公式；
②令bn=t Sn（t＞0），若对一切n∈N*，都有bn+12＞2bnbn+2，求t的取值范围；
③是否存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使cn+12＞2cncn+2对一切n∈N*都成立，若存在，请写出数列{cn}的一个通项公式；若不存在，请说明理由．
①求数列{an}的通项公式；
②令bn=t Sn（t＞0），若对一切n∈N*，都有bn+12＞2bnbn+2，求t的取值范围；
③是否存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使cn+12＞2cncn+2对一切n∈N*都成立，若存在，请写出数列{cn}的一个通项公式；若不存在，请说明理由．
考点：等差数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：①根据等差数列和等比数列的通项公式建立条件关系，即可求数列{an}的通项公式；
②求出bn=t Sn（t＞0）的通项公式，即可解决不等式bn+12＞2bnbn+2；
③根据不等式的条件，即可得到结论．
②求出bn=t Sn（t＞0）的通项公式，即可解决不等式bn+12＞2bnbn+2；
③根据不等式的条件，即可得到结论．
解答：
解：（1）①设等差数列{an}的公差为d．
∵S5=25∴S5=
=5a3=25∴a3=5
∵{an}的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项
∴(a2+1)2=(a1+1)(a3+3)即(a3-d+1)2=(a3-2d+1)(a3+3)，
∴（6-d）2=8（6-2d）
解得：d=2或d=-6
∵d＞0，
∴d=2∴an=5+2（n-3）=2n-1，n∈N*
②∵a1=1∴Sn=n2，
∴bn=tn2，
∴[t(n+1)2]2＞2tn2•t(n+2)2，整理得：t2＜
∵t＞0∴0＜t＜
（2）假设存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使
＞2cncn+2对一切n∈N*都成立，则
∴
＞2×
∴
＞2×
，…，
＞2×
，将n-1个不等式叠乘得：
＞2n-1×
∴
＜
×
（n≥2，n∈N*）
若
＜1，则
×
＜1，
∴当n∈N*时，
＜1，即cn+1＜cn
∵cn∈N*∴cn+1-cn≤-1，令c1=M，
∴cM+2=（cM+2-cM+1）+（cM+1-cM）+（cM-cM-1）+…+（c2-c1）+c1≤-（M+1）+M=-1＜0
与cM+2∈N*矛盾．
若
≥1，取N为log2
+2的整数部分，则当n≥N时，
×
＜1
∴当n≥N时，
＜1，即cn+1＜cn
∵cn∈N*∴cn+1-cn≤-1，令cN=M，所以
与cN+M+1∈N*矛盾．
∴假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使
＞2cncn+2对一切n∈N*都成立．
∵S5=25∴S5=
| 5(a1+a5) |
| 2 |
∵{an}的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项
∴(a2+1)2=(a1+1)(a3+3)即(a3-d+1)2=(a3-2d+1)(a3+3)，
∴（6-d）2=8（6-2d）
解得：d=2或d=-6
∵d＞0，
∴d=2∴an=5+2（n-3）=2n-1，n∈N*
②∵a1=1∴Sn=n2，
∴bn=tn2，
∴[t(n+1)2]2＞2tn2•t(n+2)2，整理得：t2＜
| 1 |
| 2 |
∵t＞0∴0＜t＜
| ||
| 2 |
（2）假设存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使
| c | 2 n+1 |
∴
| cn+1 |
| cn |
| cn+2 |
| cn+1 |
∴
| cn |
| cn-1 |
| cn+1 |
| cn |
| c2 |
| c1 |
| c3 |
| c2 |
| cn |
| c1 |
| cn+1 |
| c2 |
∴
| cn+1 |
| cn |
| 1 |
| 2n-1 |
| c2 |
| c1 |
若
| c2 |
| c1 |
| 1 |
| 2n-1 |
| c2 |
| c1 |
∴当n∈N*时，
| cn+1 |
| cn |
∵cn∈N*∴cn+1-cn≤-1，令c1=M，
∴cM+2=（cM+2-cM+1）+（cM+1-cM）+（cM-cM-1）+…+（c2-c1）+c1≤-（M+1）+M=-1＜0
与cM+2∈N*矛盾．
若
| c2 |
| c1 |
| c2 |
| c1 |
| c2 |
| c1 |
| 1 |
| 2n-1 |
∴当n≥N时，
| cn+1 |
| cn |
∵cn∈N*∴cn+1-cn≤-1，令cN=M，所以
|
与cN+M+1∈N*矛盾．
∴假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使
| c | 2 n+1 |
点评：本题主要考查等差数列和等比数列的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．
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