Question

已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足

a+b

c

=cosA+cosB
（1）判断△ABC的形状
（2）求

sinA•sinB

sinA+sinB

的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,三角形的形状判断

专题：解三角形

分析：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理化简可得 cosC（sinA+sinB）=0，故有 cosC=0，C=

π

2

，可得△ABC为直角三角形．
（2）由C=

π

2

，得

sinA•sinB

sinA+sinB

=

sinAcosA

sinA+cosA

，令sinA+coA=t=

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]，原式=

1

2

（t-

1

t

），再根据函数h（t）=

1

2

（t-

1

t

）在（1，

2

]上是增函数，求得

sinA•sinB

sinA+sinB

的取值范围．

解答： （1）解：△ABC中，由

a+b

c

=cosA+cosB，利用正弦定理可得

sinA+sinB

sinC

=cosA+cosB，
∴sinA+sinB=sinCcosA+cosBsinC，∴sin（B+C）+sin（A+C）=sinCcosA+cosBsinC．
化简可得 cosC（sinA+sinB）=0，∴cosC=0，∴C=

π

2

，∴△ABC为直角三角形．
（2）解：∵C=

π

2

，∴sinB=cosA，∴

sinA•sinB

sinA+sinB

=

sinAcosA

sinA+cosA

，
令 sinA+coA=t=

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]，则 sinAcosA=

t2-1

2

，
所以原式=

1

2

（t-

1

t

），再根据函数h（t）=

1

2

（t-

1

t

）在（1，

2

]上是增函数，故

sinA•sinB

sinA+sinB

的取值范围是（0，

2

4

]．

点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式，利用单调性求函数的值域，属于基础题．