Question

已知函数f（x）=x²+2xsinα-1，x∈[-

3

2

，

1

2

]，a∈[0，2π]
（1）当α=

π

6

时，求f（x）的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x的值；
（2）求α的取值范围，使得f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是单调函数；
（3）当α∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由α=

π

6

时，可以确定函数的解析式f（x）=x2+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，从而利用二次函数的单调性求得函数f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是单调函数；利用对称轴与给定区间的关系，求出-sinα≤-

3

2

，或者-sinα≥

1

2

即可得到α的取值范围．
（3）当α∈[0，

π

2

]时，求出对称轴x=-sinα范围，讨论与区间的关系，求最小值．

解答： 解（1）α=

π

6

时，f（x）=x2+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

由x∈[-

3

2

，

1

2

]，a∈[0，2π]，
当x=-

1

2

时，f（x）有最小值为-

5

4

；
当x=

1

2

时，f（x）有最大值为-

1

4

；
（2）f（x）=x²+2xsinα-1的图象的对称轴为x=-sinα，
由于f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是单调函数；
当是单调增函数时     
所以-sinα≤-

3

2

，即sinα≥

3

2

，又∵α∈[0，2π）
所求α的取值范围是[

π

3

，

2π

3

]．
当是得到减函数时，-sinα≥

1

2

，即sinα≤-

1

2

，又∵α∈[0，2π），
∴所求α的取值范围是[

7π

6

，

11π

6

]；
（3）当α∈[0，

π

2

]时，sinα∈[0，1]，-sinα∈[-1，0]，
当对称轴x=-sinα＜-

3

2

时，f（x）的最小值为f（-

3

2

）=-

1

4

-

3

sinα．
当对称轴x=-sinα≥-

3

2

时，f（x）的最小值为f（sinα）=3sin²α-1．

点评：本题主要考查了二次函数的单调性，利用配方求得其对称轴，结合函数的图象直观形象，注意讨论思想的运用，是个中档题．