Question

已知圆C的方程为（x-4）²+（y-5）²=10，平面上有一点P（2，1）
（1）若过P的直线与圆C恒有公共点，求l的斜率k的取值范围；
（2）设Q为圆上一动点，O为坐标原点，试求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）用点斜式求得直线l的方程，根据圆心（4，5）到直线l的距离小于或等于半径，求得k的范围．
（2）由于OP=

5

，要使△OPQ面积的最大，只要点Q到直线OP的距离最大．设与OP平行的直线方程为x-2y+c=0，根据圆心（4，5）到直线x-2y+c=0的距离等于半径，求得c的值，可得△OPQ面积取得最大值

解答： 解：（1）∵过P的直线与圆C恒有公共点，l的斜率k，
则直线l的方程为 y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0．
根据圆心（4，5）到直线l的距离小于或等于半径，
可得

|4k-5+1-2k|

k2+1

≤

10

，求得 k≤-3，或k≥

1

3

．
（2）由于OP=

5

，要使△OPQ面积的最大，只要点Q到直线OP：x-2y=0的距离最大．
设与OP平行的直线方程为x-2y+c=0，根据圆心（4，5）到直线x-2y+c=0的距离等于半径，
可得

|4-10+c|

5

=

10

，求得c=6±5

2

．
故当c=6+5

2

时，△OPQ面积取得最大值为

1

2

•

5

•（6+

5

）=

5+6 5

2

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题．