Question

10．西部大开发给中国西部带来了绿色，人与环境日期和谐，群众生活条件和各项基础设施得到了极大的改善．西部地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

年份	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$（其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值）．

Answer 1

分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，即可写出线性回归方程；
（2）由（1）中的线性回归方程知，斜率k＞0，判断纯收入逐年增加，
再计算x=9时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）由题意，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3；
所以回归系数为
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$
=$\frac{（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+…+3×1.6}{{（-3）}^{2}{+（-2）}^{2}+…{+3}^{2}}$
=0.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=4.3-0.5×4=2.3，
所以y关于x的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+2.3；
（2）由（1）中的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+2.3知，
斜率k=0.5＞0，
所以2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，
平均每年增加0.5千元，
当x=9时，$\stackrel{∧}{y}$=0.5×9+2.3=6.8，
即预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．

点评 本题考查了计算平均数与线性回归方程的应用问题，是中档题．