Question

16．在极坐标系Ox中，Rt△OPQ的顶点O、P、Q按逆时针方向排列，∠OPQ=$\frac{π}{2}$，∠POQ=$\frac{π}{3}$，点P在曲线C₁：ρ=2cosθ上运动（异于极点O）．
（1）当点P的极坐标为$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，求点Q的极坐标；
（2）判断点Q的轨迹C₂是何种曲线，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图所示．当点P的极坐标为$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，点Q的极径为2$\sqrt{2}$，极角为$\frac{π}{4}+\frac{π}{3}$．可得极坐标．
（2）点P在曲线C₁：ρ=2cosθ上运动，∠OPQ=$\frac{π}{2}$，∠POQ=$\frac{π}{3}$，可得点Q的极坐标为$（4cosθ，θ+\frac{π}{3}）$．可得x=4cosθ$cos（θ+\frac{π}{3}）$，y=4cosθ$sin（θ+\frac{π}{3}）$，θ∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$．化简即可得出．

解答 解：（1）如图所示．当点P的极坐标为$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，
点Q的极坐标为$（2\sqrt{2}，\frac{7π}{12}）$．
（2）∵点P在曲线C₁：ρ=2cosθ上运动，∠OPQ=$\frac{π}{2}$，∠POQ=$\frac{π}{3}$，
∴点Q的极坐标为$（4cosθ，θ+\frac{π}{3}）$．
可得x=4cosθ$cos（θ+\frac{π}{3}）$，y=4cosθ$sin（θ+\frac{π}{3}）$，θ∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$．
∴x²+y²=±2$（x+\sqrt{3}y）$，配方为：$（x+1）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}$=4，或$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4．
为两个圆．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程及其应用、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．