Question

6．设抛物线C₁：y²=8x的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂．以F₁，F₂为焦点，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的椭圆记为C₂．
（Ⅰ）求椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）设N（0，-2），过点P（1，2）作直线l，交椭圆C₂于异于N的A、B两点．
（ⅰ）若直线NA、NB的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁+k₂为定值．
（ⅱ）以B为圆心，以BF₂为半径作⊙B，是否存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切？若存在，求出⊙M的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，设椭圆的方程，根据椭圆的离心率公式及c=2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）（ⅰ）分类，当直线l斜率不存在时，求得A和B点坐标，即可求得k₁+k₂，当直线l斜率存在时，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k₁+k₂=4；
（ⅱ）定圆⊙M的方程为：（x-2）²+y²=32，求得圆心，由抛物线的性质，可求得$|{B{F_1}}|=4\sqrt{2}-|{B{F_2}}|$两圆相内切．

解答 解：（Ⅰ）由已知F₁（-2，0），F₂（2，0）．------------------------------------------------------1分
令椭圆C₂的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$，焦距为2c，（c＞0）---------------2分
则$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ b=2\\ a=2\sqrt{2}\end{array}\right.$，-------------------------------3分
所以，椭圆C₂的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）（ⅰ）证明：当直线l斜率不存在时，l：x=1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-\frac{{\sqrt{14}}}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{{\sqrt{14}}}{2}\end{array}\right.$，----------------------------------5分
不妨取$A（{1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}}）$，则$B（{1，-\frac{{\sqrt{14}}}{2}}）$，
此时，${k_1}=\frac{{\sqrt{14}}}{2}+2，{k_2}=-\frac{{\sqrt{14}}}{2}+2$，
所以k₁+k₂=4．--------------------------------------------------------6分
当直线l斜率存在时，令l：y-2=k（x-1），-----------------------------------------------------------------7分
由$\left\{\begin{array}{l}y-2=k（{x-1}）\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+（8k-4k²）x+2k²-8k=0，--------------------------------------------------------------------8分
由△=（8k-4k²）²-4（1+2k²）•（2k²-8k）＞0得k＞0，或$k＜-\frac{4}{7}$．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}-8k}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-8k}}{{1+2{k^2}}}$，------------------------------------------------9分
所以，${k_1}=\frac{{{y_1}+2}}{x_1}，{k_2}=\frac{{{y_2}+2}}{x_2}$，
所以，${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}+2}}{x_1}+\frac{{{y_2}+2}}{x_2}$=$\frac{{{x_2}{y_1}+2{x_2}+{x_1}{y_2}+2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{{{x_2}•[{k（{{x_1}-1}）+2}]+{x_1}•[{k（{{x_2}-1}）+2}]+2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
=$2k+\frac{{（{-k+4}）•（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$
=$2k+\frac{{（{-k+4}）•\frac{{4{k^2}-8k}}{{1+2{k^2}}}}}{{\frac{{2{k^2}-8k}}{{1+2{k^2}}}}}$
=$2k+\frac{{（{-k+4}）•（{4{k^2}-8k}）}}{{2{k^2}-8k}}$=2k-（2k-4）=4，----------------------------------------------------------------------------------------------10分
综上所述，k₁+k₂=4．----------------------------------------------------------11分
（ⅱ）存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切，⊙M的方程为（x-2）²+y²=32，圆心为左焦点F₁，
由椭圆的定义知$|{B{F_1}}|+|{B{F_2}}|=2a=4\sqrt{2}$，-------------------------------------------------12分
所以，$|{B{F_1}}|=4\sqrt{2}-|{B{F_2}}|$，-------------------------------------------------------------13分
所以两圆相切．---------------------------------------------------------------------------------14分．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查弦长的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式的合理运用，属于难题．