Question

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≥f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f(

x

3

)=

1

2

f(x)；③f（1-x）=1-f（x）．则f(

1

6

)=

 

；f(

1

4

)+f(

1

7

)=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：依题意，可求得f（1）=1，f（

1

3

）=f（

1

2

）=

1

2

，f（

1

6

）=f（

1

9

）=

1

4

，利用f（1-x）+f（x）=1及函数f（x）在[0，1]上为非减函数，即可求得答案．

解答： 解：依题意知，f（1-1）=1-f（1）=f（0）=0，
∴f（1）=1；
令1-x=x，得x=

1

2

，
由③f（1-x）=1-f（x）得f（

1

2

）=

1

2

；
∴f（

1

6

）=f（

1 2

3

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
∴f（

5

6

）=

3

4

；
令x=

1

4

，则f（

3

4

）=1-f（

1

4

），
又f（

3 4

3

）=

1

2

f（

3

4

），即f（

1

4

）=

1

2

f（

3

4

）=

1

2

[1-f（

1

4

）]，
∴3f（

1

4

）=1，解得f（

1

4

）=

1

3

；
同理可得：f（

1

3

）=

1

2

，f（

1

9

）=

1

4

，f（

8

9

）=

3

4

；
∵

5

6

＜

6

7

＜

8

9

，f（

5

6

）=f（

8

9

）=

3

4

，函数f（x）在[0，1]上为非减函数，
∴f（

6

7

）=

3

4

，故f（

1

7

）=1-

3

4

=

1

4

，
∴f（

1

4

）+f（

1

7

）=

1

3

+

1

4

=

7

12

．
故答案为：

1

4

，

7

12

．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的灵活应用，考查转化思想与运算能力，属于难题．