Question

偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=1-x，则关于x的方程f（x）=log₉（x+1）解的个数是

 

个．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性、单调性和周期性画出函数f（x）和y=log₉（x+1）的图象，观察图象交点个数，进而即可得到答案．

解答： 解：①设x∈[-1，0]，则（-x）∈[0，1]，
又∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=-（x+1）．
由函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x）=f（x+2），
∴函数f（x）是周期为2的函数．
因此可以先画出y=f（x）在区间[-1，1]上的图象，根据周期性即可画出整个定义域内的图象．
②画出g（x）=log₉（x+1）的图象，

由图象和上面的分析可知：函数y=f（x） 与y=g（x）有且仅有8个交点，即关于x的方程f（x）=log₉（x+1）解的个数是8．
故答案为：8

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数的周期性，熟练掌握函数的奇偶性、单调性和周期性及画出图象是解题的关键．