Question

直线l不经过坐标原点O，且与椭圆

x2

2

+y2=1交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么，直线AB与直线OM的斜率之积为（　　）

• A、-1
• B、1
• C、-

  1

  2

• D、2

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆

x2

2

+y2=1，由点差法得k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

x

2y

，又k_OM=

y

x

，由此能求出直线AB与直线OM的斜率之积．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
∵M是线段AB的中点，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆

x2

2

+y2=1，
得

x12+2y12=2 x22+2y22=2

，
两式相减，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2x（x₁-x₂）+4y（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

x

2y

，
又k_OM=

y

x

，
∴直线AB与直线OM的斜率之积：
k_AB•k_OM=-

x

2y

•

y

x

=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查两直线的斜率之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．