Question

已知g（x）=

x

lnx

，f（x）=g（x）-ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求a的最小值；
（3）若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）求导数，解不等式即可；
（2）先根据f（x）在（1，+∞）递减求出a的范围，然后再借助于单调性求a的最小值．
（3）只需f（x）_max≤[f′（x）+a]_min，依此求值．

解答： 解：（1）g′(x)=

lnx-1

(lnx)2

，令g′（x）＞0得x＞e．
当g′（x）＞0时，g（x）的增区间为（e，+∞）．
当g′（x）＜0时，因为x＞0，x≠1，所以g（x）的减区间为（0，1），（1，e）．
（2）f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-a．
因为在f（x）上（1，+∞）单调递减，所以f′（x）≤0恒成立．则a≥

lnx-1

(lnx)2

．
设h（x）=

lnx-1

(lnx)2

=-(

1

lnx

-

1

2

)2+

1

4

．
由于lnx＞0，所以h（x）的最大值为

1

4

，所以a≥

1

4

．
（3）由题意，只须f（x）≤f′（x）+a．
由（2）可知，f′(x)max=

1

4

-a，所以只须f(x)≤

1

4

．
即

x

lnx

-ax≤

1

4

，所以a≥

1

lnx

-

1

4x

．
设F（x）=

1

lnx

-

1

4x

，F′(x)=-

1

x(lnx)2

+

1

4x2

=

(lnx)2-4x

4x2(lnx)2

．
由于x∈[e，e²]，（lnx）²∈[1，4]，4x∈[4e，4e²]，所以F′（x）＜0，
F（x）在[e，e²]上单调递减，所以F（x）的最小值为F(e2)=

1

2

-

1

4e2

．
所以a≥

1

2

-

1

4e2

．

点评：本题综合考查了导数在研究函数的单调性、极值和最值中的应用，涉及到不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值问题来解．