Question

给出以下四个命题：
①{a_n}成等差数列，且m，n，p，r∈N^*，则“m+n=p+r”是“a_m+a_n=a_p+a_q”的充要条件；
②“{lga_n}成等差数列”是“{a_n}成等比数列”的充分不必要条件；
③a，b，c∈R，则“b=

ac

”是“a，b，c成等比数列”的既不充分也不必要条件；
④若{a_n}成等比数列，则a₁+a₂+a₃+a₄•a₅+a₆+a₇+a₈•a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂也成等比数列；
其中所有真命题的番号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：由等差数列的性质判断①；由等差数列的定义结合对数的运算性质判断②；举例说明③正确；由等比数列的定义得到④正确．

解答： 解：①{a_n}成等差数列，得a_m+a_n=2a₁+（m+n-2）d，
a_p+a_q=2a₁+（p+q-2）d，由m+n=p+r且m，n，p，r∈N^*，得a_m+a_n=a_p+a_q，
由a_m+a_n=a_p+a_q，得2a₁+（m+n-2）d=2a₁+（p+q-2）d，
∴m+n=p+r．
∴“m+n=p+r”是“a_m+a_n=a_p+a_q”的充要条件，命题①正确；
②由{lga_n}成等差数列，得lgan+1-lgan=lg

an+1

an

=d，

an+1

an

=10d为常数，数列{a_n}成等比数列．
由{a_n}成等比数列，如-1，2，-4，…，不一定有{lga_n}成等差数列，
∴“{lga_n}成等差数列”是“{a_n}成等比数列”的充分不必要条件，命题②正确；
③a，b，c∈R，则“b=

ac

”是“a，b，c成等比数列”的既不充分也不必要条件，命题正确．
如：0=

0×1

，但0，0，1不是等比数列.1，-2，4成等比数列，但-2≠

1×4

；
④若{a_n}成等比数列，设公比为q，则a₁+a₂+a₃+a₄，a₅+a₆+a₇+a₈，a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂也成等比数列，公比是q⁴，命题④正确．
∴正确的命题是①②③④．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了等差数列和等比数列的性质，是中档题．