Question

若数列{a_n}满足：a₁=

2

3

，a₂=2，3（a_n+1-2a_n+a_n-1）=2，
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
（2）求使

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

5

2

成立的最小正整数n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）令b_n=a_n+1-a_n，则b_n-1=a_n-a_n-1，由已知得（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=

2

3

，由此能证明数列{a_n+1-a_n}是首项为

4

3

，公差为

2

3

的等差数列．
（2）由a_n+1-a_n=

4

3

+(n-1)•

2

3

=

2

3

(n+1)，利用累加法得a_n=

2

3

+

2

3

（2+3+4+…+n）=

n2+n

3

，从而

1

an

=

3

n(n+1)

=3（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂项法能求出使

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

5

2

成立的最小正整数n．

解答： （1）证明：令b_n=a_n+1-a_n，
则b_n-1=a_n-a_n-1，
∵3（a_n+1-2a_n+a_n-1）=2，
∴a_n+1-2a_n+a_n-1=

2

3

，
∴a_n+1-a_n-a_n+a_n-1=

2

3

，
（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=

2

3

，
∴b_n-b_n-1=

2

3

，
又a₂-a₁=2-

2

3

=

4

3

，
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为

4

3

，公差为

2

3

的等差数列．
（2）解：由（1）得a_n+1-a_n=

4

3

+(n-1)•

2

3

=

2

3

(n+1)，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=

2

3

+

2

3

（2+3+4+…+n）
=

n2+n

3

，
∴

1

an

=

3

n(n+1)

=3（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=3（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=3（1-

1

n+1

）
=

3n

n+1

，
∵

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

5

2

，
∴

3n

n+1

＞

5

2

，
解得n＞5，
又n为正整数，∴n最小为6．

点评：本题考查等差数列的证明，考查满足条件的最上正整数n的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．