Question

16．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是$\frac{353π}{16}$．

Answer 1

分析 由三视图知该四棱锥是如图所示的四棱锥S-ABCD，其中ABCD是边长为2的正方体，面SAD⊥面ABCD，SA=SD，AD中点为E，SE=4，由此求出外接球的半径，利用球体的表面积公式计算即可．

解答 解：由三视图知该四棱锥是如图所示的四棱锥S-ABCD，
其中ABCD是边长为2的正方体，面SAD⊥面ABCD，SA=SD，
AD中点为E，SE=4，
其BC中点G，连结EG、SG，BD∩AC=H，
设该四棱锥的外接球球心为O，作OF⊥SE于F，
则OH⊥平面ABCD，OF=EH=1，CH=$\sqrt{2}$，
设OH=x，则SF=4-x，
∵OS=OC=R，
∴OS²=OC²，即（4-x）²+1=x²+2，解得x=$\frac{15}{8}$，
∴该四棱锥的外接球半径R=$\sqrt{（\frac{15}{8}）^{2}+2}$=$\frac{\sqrt{353}}{8}$，
∴该四棱锥的外接球的表面积S=4πR²=4π×$\frac{353}{64}$=$\frac{353π}{16}$．
故答案为：$\frac{353π}{16}$．

点评 本题考查三视图求几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、等价转化思想，是中档题．