Question

11．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{7}cosα\\ y=\sqrt{7}sinα\end{array}\right.$（其中α为参数），曲线${C_2}：{（{x-1}）^2}+{y^2}=1$，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线$θ=\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$与曲线C₁，C₂分别交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的互化方法，求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）将$θ=\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$代入曲线C₁的极坐标方程得ρ²-2ρ-3=0，解得ρ₁=3，同理将$θ=\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$曲线C₂的极坐标方程得ρ₂=1．可得|AB|=|ρ₁-ρ₂|=2．

解答 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{7}cosα\\ y=\sqrt{7}sinα\end{array}\right.$，有曲线C₁的普通方程为（x-2）²+y²=7．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入（x-1）²+y²=1，得（ρcosθ-1）²+（ρsinθ）²=1，化简得，曲线C₂的极坐标方程ρ=2cosθ．------（5分）
（2）依题意可设$A（{{ρ_1}，\frac{π}{3}}），B（{{ρ_2}，\frac{π}{3}}）$．因为曲线C₁的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-3=0，
将$θ=\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$代入曲线C₁的极坐标方程得ρ²-2ρ-3=0，解得ρ₁=3．
同理将$θ=\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$曲线C₂的极坐标方程得ρ₂=1．所以|AB|=|ρ₁-ρ₂|=2．------（10分）

点评 本题考查三种方程的互化，考查极坐标方程的运用，属于中档题．