Question

7．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁B₁B为边长为2的正方形，四边形BB₁C₁C为菱形，∠BB₁C₁=60°，平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C，点E、F分别是B₁C，AA₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求二面角B-AC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BB₁的中点H，连结EH，FH，推导出平面ABC∥平面EHF，由此能证明EF∥平面ABC．
（2）以B为坐标原点，$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{B{B_1}}$分别为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC₁-C的余弦值．

解答 证明：（1）取BB₁的中点H，连结EH，FH，
∵点E、F分别是B₁C，AA₁的中点，
∴EH∥BC，FH∥AB，
∵AB∩BC=B，EH∩FH=H，
AB，BC?平面ABC，EH，FH?平面EHF，
∴平面ABC∥平面EHF，
∵EF?平面EHF，∴EF∥平面ABC．
解：（2）以B为坐标原点，$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{B{B_1}}$分别为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，
由题意知A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，-1，$\sqrt{3}$），C₁（0，1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2，-1，$\sqrt{3}$），
设平面BAC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=$（0，-\sqrt{3}，1）$，
设平面AC₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-2x-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-2x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，0，2）$，
设二面角B-AC₁-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角B-AC₁-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、数形结合思想、转化思想以及计算能力，是中档题．