Question

2．如图，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且 DA⊥l，CB⊥l，DA=2，AB=4，CB=4，P是平面α上的一动点，且直线 PD，PC与平面α所成角相等，则二面角 P-BC-D的余弦值的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 ∠PBA为所求的二面角的平面角，由△DAP∽△CPB得出$\frac{PA}{PB}=\frac{DA}{BC}$=$\frac{1}{2}$，求出P在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出∠PBA的最大值对应的余弦值．

解答 解：∵AD⊥l，α∩β=l，α⊥β，AD?β，
∴AD⊥α，同理：BC⊥α．
∴∠DPA为直线PD与平面α所成的角，
∠CPB为直线PC与平面α所成的角，
∴∠DPA=∠CPB，又∠DAP=∠CBP=90°
∴△DAP∽△CPB，
∴$\frac{PA}{PB}=\frac{DA}{BC}$=$\frac{1}{2}$．
在平面α内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0）．设P（x，y），（y＞0）
∴2$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，整理得（x+$\frac{10}{3}$）²+y²=$\frac{64}{9}$，
∴P点在平面α内的轨迹为以M（-$\frac{10}{3}$，0）为圆心，以$\frac{8}{3}$为半径的上半圆．
∵平面PBC∩平面β=BC，PB⊥BC，AB⊥BC，
∴∠PBA为二面角P-BC-D的平面角．
∴当PB与圆相切时，∠PBA最大，cos∠PBA取得最小值．
此时PM=$\frac{8}{3}$，MB=$\frac{16}{3}$，MP⊥PB，∴PB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
cos∠PBA=$\frac{PB}{MB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．