Question

10．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{-1}&{b}\end{array}]$的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=$[\begin{array}{l}{2}\\{1}\end{array}]$，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 由条件知，Aα=2α，从而$\left\{\begin{array}{l}2+a=4\\-2+b=2\end{array}\right.$，由此能求出a，b的值．

解答 解：∵矩阵A=$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{-1}&{b}\end{array}]$的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=$[\begin{array}{l}{2}\\{1}\end{array}]$，
∴由条件知，Aα=2α，即$[{\begin{array}{l}1&a\\{-1}&b\end{array}}][{\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}}]=2[{\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}}]$，即$[{\begin{array}{l}{2+a}\\{-2+b}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}}]$，…（6分）
∴$\left\{\begin{array}{l}2+a=4\\-2+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=4.\end{array}\right.$
∴a，b的值分别为2，4．…（10分）

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．