Question

12．设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）-bx²．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x-3y=0平行．
（i）  求a，b的值；
（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x²-x）对x∈（0，+∞）恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（ii）问题转化为g（x）-k（x²-x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=g（x）-k（x²-x），求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，从而确定k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1，b=-1时，f（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1），
则$f'（x）=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}$．
当f'（x）＞0时，-1＜x＜0；
当f'（x）＜0时，x＞0；
所以f（x）的单调增区间为（-1，0），单调减区间为（0，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）（ i）因为g（x）=f（x）-bx²=ln（1+ax）+b（x-x²），
所以$g'（x）=\frac{a}{1+ax}+b（1-2x）$．
依题设有$\left\{\begin{array}{l}g（1）=ln（1+a）\\ g'（1）=\frac{11}{3}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}ln（1+a）=ln3\\ \frac{a}{1+a}-b=\frac{11}{3}.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-3\end{array}\right.$．…（8分）
（ ii））所以$g（x）=ln（1+2x）-3（x-{x^2}），x∈（-\frac{1}{2}，+∞）$．
g（x）＞k（x²-x）对x∈（0，+∞）恒成立，
即g（x）-k（x²-x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．
令F（x）=g（x）-k（x²-x）．
则有$F'（x）=\frac{{4（3-k）{x^2}+k-1}}{1+2x}$．
①当1≤k≤3时，当x∈（0，+∞）时，F'（x）＞0，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递增．
所以F（x）＞F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x²-x）；
②当k＜1时，当$x∈（0，\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-k}{3-k}}）$时，F'（x）＜0，
所以F（x）在$（0，\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-k}{3-k}}）$上单调递减，
故当$x∈（0，\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-k}{3-k}}）$时，F（x）＜F（0）=0，
即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x²-x）不恒成立．
综上，k∈[1，3]．                                       …（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．