Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，对任意的k∈N^*，a_2k-1、a_2k、a_2k+1成等比数列，公比为q_k；a_2k、a_2k+1、a_2k+2成等差数列，公差为d_k，且d₁=2．
（1）写出数列{a_n}的前四项；
（2）设bk=

1

qk-1

，求数列{b_k}的通项公式；
（3）求数列{d_k}的前k项和D_k．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得

a22=a1a3 a3=a2+2

，求出a₂=2或a₂=-1，即可写出数列{a_n}的前四项；
（2）由a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，知2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，从而能够证明{b_k}是等差数列，且公差为1．
（3）由d₁=2，得a₃=a₂+2，解得a₂=2，或a₂=-1．由此进行分类讨论，能够求出D_k．

解答： 解：（1）由题意得

a22=a1a3 a3=a2+2

，∴a22=a2+2，a₂=2或a₂=-1．…（2分）
故数列{a_n}的前四项为1，2，4，6或1，-1，1，3．…（4分）
（2）∵a_2k-1，a_2k，a_2k+1成公比为q_k的等比数列，a_2k+1，a_2k+2，a_2k+3成公比为q_k+1的等比数列，
∴a_2k+1=a_2kq_k，a_2k+2=a_2k+1q_k+1
又∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，
∴2a_2k+1=a_2k+a_2k+2．
得2a2k+1=

a2k+1

qk

+a2k+1qk+1，2=

1

qk

+qk+1，…（6分）
∴

qk-1

qk

=qk+1-1，
∴

1

qk+1-1

=

qk

qk-1

=1+

1

qk-1

，

1

qk+1-1

-

1

qk-1

=1，即b_k+1-b_k=1．
∴数列{b_k}为公差d=1等差数列，且b1=

1

q1-1

=1或b1=

1

q1-1

=-

1

2

．…（8分）
∴b_k=b₁+（k-1）•1=k或bk=k-

3

2

．…（10分）
（3）当b₁=1时，由（2）得bk=

1

qk-1

=k，qk=

k+1

k

.

a2k+1

a2k-1

=(

k+1

k

)2，a2k+1=

a2k+1

a2k-1

•

a2k-1

a2k-3

…

a3

a1

•a1=(

k+1

k

)2•(

k

k-1

)2…(

2

1

)2•1=(k+1)2，a2k=

a2k+1

qk

=k(k+1)，dk=a2k+1-a2k=

a2k+1

qk

=k+1，Dk=

k(k+3)

2

．…（13分）
当b1=-

1

2

时，同理可得d_k=4k-2，Dk=2k2．…（16分）

点评：本题考查数列的前n项和的计算，等差数列的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意计算能力的培养．