Question

已知函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+

1

2

sin(x+

π

2

)．
（1）写出f（x）的最小正周期以及单调区间；
（2）若函数h(x)=cos(x+

5π

4

)，求函数y=log₂f（x）+log₂h（x）的最大值，以及使其取得最大值的x的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦

专题：计算题,综合题

分析：（1）把所给的三角函数式进行整理，根据二倍角公式和两角和的正弦公式，得到最简形式，根据正弦函数的单调区间，得到不等关系，解出即可．
（2）根据对数的性质进行整理，得到对数的最简形式，把真数整成可以求出最大值的形式，根据底数是2，函数是一个递增函数得到结果．

解答： 解：（1）f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+

1

2

sin(x+

π

2

)=

1

2

sinx+

1

2

cosx
=

2

2

sin(x+

π

4

)
∴T=2π，
根据正弦函数的单调区间得到
x+

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
∴x∈[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]
（2）∵f（x）=

2

2

sin(x+

π

4

)，h(x)=cos(x+

5π

4

)=-cos（x+

π

4

），
∴函数y=log₂f（x）+log₂h（x）=log₂[-

2

4

sin(2x+

π

2

)=log2(-

2

4

cos2x)
∵f（x）＞0，h（x）＞0
∴D={x|

π

4

-2kπ＜x＜

3π

4

-2kπ，k∈z}
∴ymax=log2

2

4

=-

3

2

，
使y取得最大值的x的集合为{x|x=

π

2

-2kπ，k∈z}

点评：本题考查三角函数的恒等变形，考查二倍角公式和两个角的和的公式，以及对数的运算性质，本题解题的关键是整理出正确的三角函数形式，本题是一个中档题目．