Question

已知△ABC的外接圆半径R=

2

，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量

m

=(sinA-sinC，b-a)，

n

=(sinA+sinC，

2

4

sinB)，且

m

⊥

n

．
（1）求∠C的大小；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的恒等变换及化简求值,三角形中的几何计算

专题：综合题

分析：（1）由

m

⊥

n

，推出

m

•

n

=0，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；
（2）利用（1）中c²=a²+b²-ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．

解答： 解答：解：（1）∵

m

⊥

n

⇒

m

•

n

=0
∴(sinA-sinC)(sinA+sinC)+

2

4

(b-a)sinB=0
且 2R=2

2

，由正弦定理得：(

a

2R

)2-(

c

2R

)2+

2

4

b

2R

(b-a)=0
化简得：c²=a²+b²-ab
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC∴2cosC=1⇒cosC=

1

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

（2）∵a²+b²-ab=c²=（2RsinC）²=6，
∴6=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），
S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

2

3

所以，Smax=

3

2

3

，此时，△ABC为正三角形．

点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．