Question

若随机变量ξ服从几何分布，且p（ξ=k）=g（k，p）（0＜p＜1），试写出随机变量ξ的期望公式，并给出证明．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,超几何分布的应用

专题：计算题,证明题

分析：根据变量符合几何分布，写出各个变量对应的概率，表示出期望的表达式，利用数列中的错位相减得到数列的前n项和，根据n是一个趋近于无穷的数字，利用极限的思想得到结果．

解答： 证明：如下表
ξ  1   2    3   4  …k  …
P  p  qp  q²p  q³p …q^k-1p …
则Eξ=p+2qp+3q²p+…+kq^k-1p+…
=p（1+2q+3q²+…+kq^k-1+…）
令T=1+2q+3q²+4q³ …+kq^k-1+（k+1）q^k +…①
则qT=q+2q²+3q³+…+（k-1）q^k-1+kq^k+…②
①-②T-qT=q0+q1+q2+q3+…+qk-1+q^k +…
=

1(1-qn)

1-q

即T=

1-qn

(1-q)2

=

1-qn

p2

，
则Eξ=

1-qn

p

，
∴当n→∞时，Eξ=

1

p

点评：本题看出几何分布的期望值的推导，本题解题的关键是利用数列的求和的方法来写出期望的表示式，本题是一个中档题目．