Question

已知：2f(x)=

3

(sinx+cosx)2+2cos2x-(1+

3

)，(x∈R)
（1）请说明函数y=f（x）的图象可由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到；
（2）设函数y=f（x）图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为A₁、A₂、A₃、A₄、…、A_n…、（n∈N^*），试求A₄的坐标．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的对称性

专题：计算题,整体思想

分析：（1）先根据同角三角函数之间的关系以及二倍角公式对已知条件整理得到函数y=f（x）解析式，再结合函数图象的平移规律即可得到结论；
（2）根据函数y=sinx图象的对称中心为（kπ，0），由2x+

π

6

=kπ，k∈Z得函数y=f（x）的对称中心为(

kπ

2

-

π

12

，0)；再把k=4代入即可求出结论．

解答： 解：（1）∵2f(x)=

3

(1+2sinxcosx)+cos2x-

3

=

3

sin2x+cos2x
∴f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=cos

π

6

sin2x+sin

π

6

cos2x=sin(2x+

π

6

)=sin2(x+

π

12

)
所以函数y=f（x）的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移

π

12

个单位得到
（2）∵函数y=sinx图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z
由2x+

π

6

=kπ，k∈Z得函数y=f（x）的对称中心为(

kπ

2

-

π

12

，0)
k依次取1，2，3，4…可得A₁、A₂、A₃、A₄…各点，
∴A₄的坐标为(

23π

12

，0)

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换以及正弦函数的对称性．在求这类问题时，常用整体代换思想．