Question

8．数列{a_n}满足a₁=1，${a_n}•{a_{n+1}}={2^{n-1}}$，其前n项和为S_n，则
（1）a₅=4；
（2）S_2n=2ⁿ⁺¹-2．

Answer 1

分析 （1）运用代入法直接计算即可得到所求值；
（2）将n换为n+1，相除可得数列{a_n}的奇数项、偶数项均以1为首项，2为公比的等比数列，再由分组求和和等比数列的求和方法，即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}满足a₁=1，${a_n}•{a_{n+1}}={2^{n-1}}$，
a₁a₂=1，可得a₂=1，
a₂a₃=2，可得a₃=2，
a₃a₄=4，可得a₄=2，
a₄a₅=8，可得a₅=4，
（2）a₁=1，${a_n}•{a_{n+1}}={2^{n-1}}$，
可得a_n+1a_n+2=2ⁿ，
即有a_n+2=2a_n，
即有数列{a_n}的奇数项、偶数项均以1为首项，2为公比的等比数列，
可得S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．
故答案为：4，2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查数列的求和，注意运用运用分析法以及分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．