Question

13．在平面内，定点A，B，C，D满足$|{\overrightarrow{DA}}|=|{\overrightarrow{DB}}|=|{\overrightarrow{DC}}|$，$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}=-2$，动点M，N满足$|{\overrightarrow{AN}}|=2$、$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{MC}$，则${|{\overrightarrow{AM}}|^2}$的最小值是（　　）

• A． $4-2\sqrt{3}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{{13-4\sqrt{3}}}{4}$
• D． $2+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意可设D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
由|$\overrightarrow{AN}$|=2再设N（2+2cosθ，2sinθ），由$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{MC}$得点M坐标，再计算$\overrightarrow{AM}$与${\overrightarrow{AM}}^{2}$的最小值．

解答 解：平面内定点A，B，C，D满足$|{\overrightarrow{DA}}|=|{\overrightarrow{DB}}|=|{\overrightarrow{DC}}|$，$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}=-2$，
可设：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
∵动点M，N满足|$\overrightarrow{AN}$|=2，$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{MC}$，
可设N（2+2cosθ，2sinθ），由$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{MC}$得M（$\frac{1}{2}$+cosθ，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sinθ），
∴$\overrightarrow{AM}$=（cosθ-$\frac{3}{2}$，sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴${\overrightarrow{AM}}^{2}$=${（cosθ-\frac{3}{2}）}^{2}$+${（sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$
=cos²θ-3cosθ+$\frac{9}{4}$+sin²θ-$\sqrt{3}$sinθ+$\frac{3}{4}$
=4-3cosθ-$\sqrt{3}$sinθ
=4-2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）≥4-2$\sqrt{3}$，
当且仅当sin（θ+$\frac{π}{3}$）=1时取等号，
∴${|{\overrightarrow{AM}}|^2}$的最小值是4-2$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量坐标运算性质、模的计算公式、数量积运算性质、三角函数求值等问题，是综合题．