Question

9．已知右焦点为F的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（1，$\frac{3}{2}$），直线x=a与抛物线L：x²=$\frac{8}{3}$y交于点N，且$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{FN}$，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于A、B两点．
①若直线l与x轴垂直，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点；
②已知D为椭圆C的左顶点，若l与直线DM平行，判断直线MA，MB是否关于直线FM对称，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{FN}$，即可求得N点坐标，将M代入抛物线方程，即可求得a，代入椭圆方程，即可求得b的值，即可求得椭圆方程；
（2）①设直线PB的方程，设B，E点坐标，将直线PB代入椭圆方程，求得直线AE的方程，利用韦达定理即可求得x的值，直线AE与x轴相交于定点（1，0）；
②设直线l的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得n的取值范围，利用直线的斜率公式及韦达定理k_MA+k_MB=0，则直线MA，MB关于直线x=1对称．

解答 解：（1）设N（a，y₀），连接MN，由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{FN}$，则OMNF为平行四边形，则y₀=$\frac{3}{2}$，
将M（1，$\frac{3}{2}$）代入抛物线方程：解得：a=2，
将M（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{1}{4}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①证明：由题意，直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4），B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则A（x₁，-y₁），$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，①
则直线AE的方程为：y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂），令y=0，x=x₂-$\frac{{y}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
由y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
∴x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$，
∴x=1，
∴直线AE与x轴相交于定点（1，0）；
②由题意可知，直线MF的方程为x=1，则k_OM=$\frac{1}{2}$，设直线l：y=$\frac{1}{2}$x+n，（n≠1），
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：x²+nx+n²-3=0，
△=n²-4×（n²-3）=12-3n²＞0，即b∈（-2，2），且n≠1，
x₃+x₄=-n，x₃x₄=n²-3，
则k_MA+k_MB=$\frac{{y}_{3}-\frac{3}{2}}{{x}_{3}-1}$+$\frac{{y}_{4}-\frac{3}{2}}{{x}_{4}-1}$=$\frac{\frac{1}{2}{x}_{3}+n-\frac{3}{2}}{{x}_{3}-1}$+$\frac{\frac{1}{2}{x}_{4}+n-\frac{3}{2}}{{x}_{4}-1}$
=1+$\frac{n-1}{{x}_{3}-1}$+$\frac{n-1}{{x}_{4}-1}$=1+$\frac{（n-1）（{x}_{1}+{x}_{2}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{3}+{x}_{4}）+1}$=1-$\frac{（n-1）（n+2）}{{n}^{2}+n-2}$=0，
直线MA，MB关于直线x=1对称．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．