Question

19．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求以P为圆心，且过原点的圆的参数方程．

Answer 1

分析 （1）由$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，得$ρ（{\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}）=1$，利用互化公式可得：C的直角坐标方程．θ=0，$θ=\frac{π}{2}$时，代入即可得出M，N的坐标．
（2）M点的直角坐标为（2，0），N点的直角坐标为$（{0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$，可得中点P点的直角坐标为$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，且r=|OP|，即可得出所求的圆的参数方程．

解答 解：（1）由$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，得$ρ（{\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}）=1$，
从而C的直角坐标方程为$\frac{1}{2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}y=1$，
θ=0时，ρ=2，所以M（2，0），
$θ=\frac{π}{2}$时，$ρ=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，所以$N（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{π}{2}}）$；
（2）M点的直角坐标为（2，0），N点的直角坐标为$（{0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$，
所以P点的直角坐标为$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，且$r=|{PO}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
所以所求圆的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}cosθ}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、中点坐标公式、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．