Question

17．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在$\widehat{MDN}$上运动（如图）．若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AE}+μ\overrightarrow{BF}$，其中λ，μ∈R，则2λ-5μ的取值范围是（　　）

• A． [-2，2]
• B． $[{-2，2\sqrt{2}}]$
• C． $[{-2\sqrt{2}，2}]$
• D． $[{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}]$

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），
F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α≤π），由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{BF}$得，
（cosα，sinα）=λ（2，1）+μ（-1，$\frac{3}{2}$），λ，μ用参数α进行表示，
利用辅助角公式化简，即可得出结论．

解答 解：建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），
P（cosα，sinα）（0≤α≤π），
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{BF}$得，（cosα，sinα）=λ（2，1）+μ（-1，$\frac{3}{2}$）
⇒cosα=2λ-μ，sinα=λ+$\frac{3}{2}μ$
⇒λ=$\frac{3}{8}cosα+\frac{1}{4}sinα$，$μ=\frac{1}{2}sinα-\frac{1}{4}cosα$
∴2λ-5μ=2（$\frac{3}{8}cosα+\frac{1}{4}sinα$）-5（$\frac{1}{2}sinα-\frac{1}{4}cosα$）
=-2（sinα-cosα）=-2$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$）
∵$α-\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]∴-2$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$）∈[-2$\sqrt{2}$，2]，
即2λ-5μ的取值范围是[-2$\sqrt{2}$，2]．
故选：C

点评 本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中档题．