题目内容

20．已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cosθ+4sinθ．
（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C1，C2是否相交，若不相交，请说明理由；若交于一点，则求出此点的极坐标；若交于两点，则求出过两点的直线的极坐标方程．

分析 （Ⅰ）曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程，由曲线C2的极坐标方程能求出曲线C2的直角坐标方程．
（Ⅱ）求出曲线C1、C2的交线为4x-4y=0，即x=y，由此能示出过两点的直线的极坐标方程．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C1的普通方程为（x-1）2+y2=1，
∵曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cosθ+4sinθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2+2x-4y=0．
（Ⅱ）曲线C1是以C1（1，0）为圆心，以r1=1为半径的圆，
曲线C2是以C2（-1，2）为圆心，以${r}_{2}=\frac{1}{2}\sqrt{4+16}$=$\sqrt{5}$为半径的圆，
|C1C2|=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$∈（|r1-r2|，r1+r2），
∴曲线C1，C2交于两点，
∵曲线C1的普通方程为（x-1）2+y2=1，即x2+y2-2x=0，
曲线C2的直角坐标方程为x2+y2+2x-4y=0．
∴曲线C1、C2的交线为4x-4y=0，即x=y，
∴过两点的直线的极坐标方程为tanθ=1，即$θ=\frac{π}{4}$或θ=$\frac{5π}{4}$．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查两圆交线的极坐标方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

练习册系列答案
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．
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