Question

18．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数）；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ．
（Ⅰ）求C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线l：y=kx（x≥0）分别交C₁，C₂于A，B两点（A，B异于原点）．当$k∈（1，\sqrt{3}]$时，求|OA|•|OB|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得，由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，利用平方关系可得C₁的普通方程为（x-1）²+y²=1．方程ρcos²θ=sinθ可化为ρ²cos²θ=ρsinθ，将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入方程之间坐标方程．
（Ⅱ）联立方程$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^2}+{y^2}=1\\ y=kx\end{array}\right.$，可得A坐标．联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，可得B，进而得出|OA|•|OB|的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$可得（x-1）²+y²=cos²α+sin²α，
即C₁的普通方程为（x-1）²+y²=1．（2分）
方程ρcos²θ=sinθ可化为ρ²cos²θ=ρsinθ…（*），
将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入方程（*），可得x²=y．（5分）
（Ⅱ）联立方程$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^2}+{y^2}=1\\ y=kx\end{array}\right.$得$A\;（\frac{2}{{{k^2}+1}}，\frac{2k}{{{k^2}+1}}）$．（7分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，可得B（k，k²），
所以$|{OA}|•|{OB}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{2}{{{k^2}+1}}•\sqrt{1+{k^2}}•k=2k$．（9分）
又$k∈（1，\sqrt{3}]$，所以$|{OA}|•|{OB}|∈（2，2\sqrt{3}]$．（10分）

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．