Question

已知函数f（x）=（x-1）e^x-ax²，当a∈（2，3）时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：求出导函数f′（x）=x（e^x-2a），判断出在[0，ln2a]单调递减，[ln2a，a]单调递增，判断求出最值．

解答： 解：∵f（x）=（x-1）e^x-ax²，
∴f′（x）=x（e^x-2a），
当a∈（2，3）时，f′（x）=0，x=0，x=ln2a；
f′（x）＞0，x＜0，x＞ln2a；
f′（x）＜0，0＜x＜ln2a，
∵令m（x）=x-ln2x，
m′（x）=

x-1

x

，
m′（x）＞0，x＞1
m′（x）＜0，0＜x＜1
m′（x）=

1-x

x

=0．x=1
∴m（x）_min=1-ln2＞0
∴x＞ln2x
即a＞ln2a
∵x∈[0，a]，
∴[0，ln2a]单调递减，[ln2a，a]单调递增，
f（x）_min=2a（ln2a-1）-a（ln2a）²，
f（0）=-1，f（a）=（a-1）e^a-a³，
∵当a∈（2，3）时，
∴f（a）=（a-1）e^a-a³＞f（0）=-1，
∴函数f（x）在[0，a]上的最大值（a-1）e^a-a³，

点评：本题考察了导数的应用，在闭区间上的最值，属于中档题．