Question

已知椭圆C的中心在原点，离心率为

3

2

，短轴在y轴上且长度大于1，定点A（0，

3

2

）到椭圆C点的最远距离为

7

，求椭圆的标准方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（2a＞2b＞1）．由

c

a

=

3

2

可得a=2b．椭圆的方程可化为x²+4y²=4b²．设椭圆C上的任意一点P（x，y）．可得|PA|²=x2+(y-

3

2

)2=-3(y+

1

2

)2+4b²+3．由于b＞

1

2

，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（2a＞2b＞1）．
由

c

a

=

3

2

可得1-

b2

a2

=

3

4

，解得a=2b．
∴椭圆的方程可化为x²+4y²=4b²．
设椭圆C上的任意一点P（x，y）．
|PA|²=x2+(y-

3

2

)2=4b²-4y²+y2-3y+

9

4

=-3(y+

1

2

)2+4b²+3．
∵2b＞1，∴b＞

1

2

，
∴当y=-

1

2

时，|PA|取得最大值

7

．
∴4b²+3=7，解得b=1．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．