Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是正方形A₁B₁C₁D₁、ADD₁A₁的中心，求证：平面DEF∥平面AB₁C．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：以D为原点，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，将D，E，F，A，B₁，C得坐标写出，利用向量得坐标关系判断EF∥AB₁，DF∥CB₁，利用面面平行得判定定理可得．

解答： 解：以D为原点，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D（0，0，0），E（1，1，2），F（1，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），
所以

EF

=（0，-1，-1），

DF

=（1，0，1），

AB1

=（0，2，2），

CB1

=（2，0，2），
所以

EF

∥

AB1

，

DF

∥

CB1

，并且EF∩DF=F，AB₁∩CB₁=B₁，
所以平面DEF∥平面AB₁C．

点评：本题借助于空间向量解决了平面平行得判断，关键是正确建立空间直角坐标系，得到向量平行与平面内的直线平行，从而判断面面平行．