Question

已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）；②当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．则f（8）=

 

；方程f（x）=

1

5

的最小正数解为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据条件求出f（2）=0，令x=2，求出f（4），令x=4，求出f（8）；令

1

2

＜x≤1，转化到已知范围，从而求出f（x）的解析式，同理分别求出

1

4

＜x≤

1

2

，

1

8

＜x≤

1

4

，

1

16

＜x≤

1

8

时的解析式，令f（x）=

1

5

，分别求出x，并检验即得结果．

解答： 解：∵当x∈（1，2]时，f（x）=2-x，
∴f（2）=0，
∵?x＞0，f（2x）=2f（x），
∴f（4）=2f（2）=0，f（8）=2f（4）=0；
令

1

2

＜x≤1，则1＜2x≤2，
∴f（2x）=2-2x，
又f（2x）=2f（x），
∴当

1

2

＜x≤1时，f（x）=1-x，
令

1

4

＜x≤

1

2

，则

1

2

＜2x≤1，f（2x）=1-2x，
又f（2x）=2f（x），
∴当

1

4

＜x≤

1

2

时，f（x）=

1

2

-x，
令

1

8

＜x≤

1

4

，则

1

4

＜2x≤

1

2

，f（2x）=

1

2

-2x，
又f（2x）=2f（x），
∴当

1

8

＜x≤

1

4

时，f（x）=

1

4

-x，
同理可得：当

1

16

＜x≤

1

8

时，f（x）=

1

8

-x，
令f（x）=

1

5

，则由2-x=

1

5

，得x₁=

9

5

，
由1-x=

1

5

，得x₂=

4

5

，
由

1

2

-x=

1

5

，得x₃=

3

10

，
由

1

4

-x=

1

5

，得x₄=

1

20

∉（

1

8

，

1

4

]，
由

1

8

-x=

1

5

，得x₅＜0，
可推出以下都小于0．
∴方程f（x）=

1

5

的最小正数解为

3

10

．
故答案为：0，

3

10

．

点评：本题主要考查函数的解析式的求法，以及应用求自变量，注意运用赋值和转换的数学思想方法，同时解方程一定要注意自变量的范围．