题目内容
已知等比数列{an}的项a3，a5是方程2x2+11x+10=0的两个根，则a12+a72= ．
考点：等比数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：由已知条件得到a3a5=
=5，a3+a5=-
，设a1=
，a3=
，a5=a4q，a7=a4q 3，推导出q2+
=
-2=
，由此能求出a12+a72的值．
| 10 |
| 2 |
| 11 |
| 2 |
| a4 |
| q3 |
| a4 |
| q |
| 1 |
| q2 |
| 121 |
| 20 |
| 81 |
| 20 |
解答：
解：∵等比数列{an}的项a3，a5是方程2x2+11x+10=0的两个根，
∴a3a5=
=5，a3+a5=-
，
∵a1=
，a3=
，a5=a4q，a7=a4q 3，
a42=5，
+a4q=a4(q+
)=-
，
∴q+
=-
，∴(q+
)2=q2+
+2=
，
∴q2+
=
-2=
，
∴a12+a72=(
)2+(a4q3)2
=a42[(
)3+(q2)3]
=5(
+q2)(q4+
-1)
=5×
•[(q2+
)2-3]
=
[(
)2-3]
=
．
故答案为：
．
∴a3a5=
| 10 |
| 2 |
| 11 |
| 2 |
∵a1=
| a4 |
| q3 |
| a4 |
| q |
a42=5，
| a4 |
| q |
| 1 |
| q |
| 11 |
| 2 |
∴q+
| 1 |
| q |
| 11 |
| 2a4 |
| 1 |
| q |
| 1 |
| q2 |
| 121 |
| 120 |
∴q2+
| 1 |
| q2 |
| 121 |
| 20 |
| 81 |
| 20 |
∴a12+a72=(
| a4 |
| q3 |
=a42[(
| 1 |
| q2 |
=5(
| 1 |
| q2 |
| 1 |
| q4 |
=5×
| 81 |
| 20 |
| 1 |
| q2 |
=
| 81 |
| 4 |
| 81 |
| 2 |
=
| 434241 |
| 1600 |
故答案为：
| 434241 |
| 1600 |
点评：本题考查等比数列的性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．
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