Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，△A₁AC，△ABC均为正三角形，点O，E分别为AC，AA₁中点．求二面角C₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角,空间向量及应用

分析：以OA，OB，OA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C₁-AB-C的余弦值．

解答： 解：如图，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
△A₁AC，△ABC均为正三角形，点O，E分别为AC，AA₁中点，
∴设AC=2，以AC中点O为原点，
以OA，OB，OA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，

3

，0），C₁（-2，0，

3

），
∴

AB

=（-1，

3

，0），

AC1

=（-3，0，

3

）
设平面ABC₁的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • AB =-x+ 3 y=0 m • AC1 =-3x+ 3 z=0

，
取y=

3

，得

m

=（3，

3

，3

3

），
平面ABC的法向量

n

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

3 3

1• 39

=

3 13

13

．
∴二面角C₁-AB-C的余弦值为

3 13

13

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．