Question

15．已知$a=\int_1^{e^2}{\frac{1}{x}dx}$，则二项式$（{x+\frac{1}{x}}）{（{ax-\frac{1}{x}}）^5}$的展开式中常数项为40．

Answer 1

分析 由定积分公式计算出a=2，求得（ax-$\frac{1}{x}$）⁵的通项公式，化简整理，讨论r=2，3即可得到所求常数项．

解答 解：$a=\int_1^{e^2}{\frac{1}{x}dx}$=lnx|${\;}_{1}^{{e}^{2}}$=lne²-ln1=2，
（ax-$\frac{1}{x}$）⁵的通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$（2x）^5-r（-$\frac{1}{x}$）^r=${C}_{5}^{r}$2^5-rx^5-2r（-1）^r，r=0，1，2，…，5
由题意可得5-2r=1，即r=2，可得T₃=${C}_{5}^{2}$2³x=80x，
当5-2r=-1，即r=3，可得T₄=${C}_{5}^{3}$2²x=-40x，
则二项式$（{x+\frac{1}{x}}）{（{ax-\frac{1}{x}}）^5}$的展开式中常数项为80-40=40．
故答案为：40．

点评 本题考查二项式定理的运用：主要是求特定项的系数，注意运用通项公式和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．